Ensembles finis Exemples

$\frac{y^{2} + 14 y + 48}{y^{2} + 6 y - 7} \cdot \frac{y^{2} + 9 y - 10}{y^{2} + 12 y + 36}$

Étape 1

Factorisez $y^{2} + 14 y + 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $48$ et dont la somme est $14$ .

$6, 8$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{y^{2} + 6 y - 7} \cdot \frac{y^{2} + 9 y - 10}{y^{2} + 12 y + 36}$

Étape 2

Factorisez $y^{2} + 6 y - 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $6$ .

$- 1, 7$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{y^{2} + 9 y - 10}{y^{2} + 12 y + 36}$

Étape 3

Factorisez $y^{2} + 9 y - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $9$ .

$- 1, 10$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{y^{2} + 12 y + 36}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{y^{2} + 12 y + 6^{2}}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 y = 2 \cdot y \cdot 6$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^{2}}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 6$ .

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{{(y + 6)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{(y + 6) (y + 8) ((y - 1) (y + 10))}{(y - 1) (y + 7) {(y + 6)}^{2}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $y + 6$ et ${(y + 6)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y + 6$ à partir de $(y + 6) (y + 8) ((y - 1) (y + 10))$ .

$\frac{(y + 6) ((y + 8) ((y - 1) (y + 10)))}{(y - 1) (y + 7) {(y + 6)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $y + 6$ à partir de $(y - 1) (y + 7) {(y + 6)}^{2}$ .

$\frac{(y + 6) ((y + 8) ((y - 1) (y + 10)))}{(y + 6) ((y - 1) (y + 7) (y + 6))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 6) ((y + 8) ((y - 1) (y + 10)))}{(y + 6) ((y - 1) (y + 7) (y + 6))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 8) ((y - 1) (y + 10))}{(y - 1) (y + 7) (y + 6)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 8) ((y - 1) (y + 10))}{(y - 1) (y + 7) (y + 6)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 8) (y + 10)}{(y + 7) (y + 6)}$